MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 1990年

問題

  1. 第1問三角形 ABCABC において、D,E,FD,E,F をそれぞれ BC,CA,ABBC,CA,AB の中点、GG を重心とする。∠BAC\angle BAC の各値について、AEGFAEGF が円に内接する相似でない三角形はいくつ存在するか。解答: 1
  2. 第2問a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n を正の実数とし、SrS_r をそれらから rr 個を選んだ積の総和とする。k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1 に対して SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n を証明せよ。解答: 1
  3. 第3問底辺 ABAB が固定され、CC からの高さが一定値 hh であるすべての三角形 ABCABC を考える。3本の高さの積が最大になるのはどの三角形か。解答: 1
  4. 第4問n 頂点グラフ G が次を満たすとする。(i) どの頂点も他のすべての頂点と隣接しない。(ii) 三角形を含まない。(iii) 隣接しない任意の2頂点 A,B に対し、両方に隣接する頂点 C がちょうど1つ存在する。すべての頂点の次数が等しいことを示し、可能な最小の n を求めよ。解答: 1
  5. 第5問任意の整数 n>=6 に対して、合同な三角形ちょうど n 個に分割できる凸六角形が存在することを示せ。解答: 1