MathLabs

第1問

三角形 ABCABC において、D,E,FD,E,F をそれぞれ BC,CA,ABBC,CA,AB の中点、GG を重心とする。∠BAC\angle BAC の各値について、AEGFAEGF が円に内接する相似でない三角形はいくつ存在するか。
ステップ 2/5: 内接条件を中線の関係に変換する
前のステップ次のステップ
AEGF cyclic⟺AI⋅IG=FI⋅IE⟺AD2=3CD2AEGF\text{ cyclic}\Longleftrightarrow AI\cdot IG=FI\cdot IE\Longleftrightarrow AD^2=3CD^2
詳しい解説

点 II で交わる弦の定理より、AEGFAEGF が円に内接することと AI⋅IG=FI⋅IEAI\cdot IG=FI\cdot IE は同値である。上の比を代入すると、公式解答で用いられる同値な関係 AD2=3CD2AD^2=3CD^2 を得る。