第1問

三角形

ABC

において、

D,E,F

をそれぞれ

BC,CA,AB

の中点、

G

を重心とする。

\angle BAC

の各値について、

AEGF

が円に内接する相似でない三角形はいくつ存在するか。

ステップ 3/5: 角度と辺の比に関する条件を導く

\cos A=\frac{AB^2+AC^2}{4AB\cdot AC}=\frac14\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)

詳しい解説

三角形 $ABD$ と $ACD$ に余弦定理を適用し、 $AD^2=3CD^2$ を用いる。すると $\cos A=(AB^2+AC^2)/(4AB\,AC)$ 、すなわち表示された $AB/AC$ に関する対称な式を得る。