MathLabs

第1問

三角形 ABCABC において、D,E,FD,E,F をそれぞれ BC,CA,ABBC,CA,AB の中点、GG を重心とする。∠BAC\angle BAC の各値について、AEGFAEGF が円に内接する相似でない三角形はいくつ存在するか。
ステップ 5/5: 相似でない三角形の個数を数える
前のステップ次のステップ
A=60∘:AB=AC;A<60∘:r+1r=4cos⁡A has two reciprocal rootsA=60^\circ: AB=AC;\qquad A<60^\circ: r+\frac1r=4\cos A\text{ has two reciprocal roots}
詳しい解説

A=60∘A=60^\circ では AM–GM の等号条件から AB=ACAB=AC となり、正三角形の相似類が1つ得られる。A<60∘A<60^\circ では r=AB/ACr=AB/AC とおくと、方程式 r+1/r=4cos⁡A>2r+1/r=4\cos A>2 は互いに逆数の2つの正の根をもつ。B,CB,C を入れ替えると根も入れ替わり、相似な三角形になるので、相似でないものはちょうど1つである。したがって答えは A>60∘A>60^\circ で 00、すべての A≤60∘A\le60^\circ で 11 である。