第2問

a_1,a_2,\ldots,a_n

を正の実数とし、

S_r

をそれらから

r

個を選んだ積の総和とする。

k=1,2,\ldots,n-1

に対して

S_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n

を証明せよ。

ステップ 1/4: 部分集合で基本対称和を添字付ける

S_r=\sum_{|I|=r}a_I,\qquad a_I=\prod_{i\in I}a_i

詳しい解説

部分集合 $I\subseteq\{1,\ldots,n\}$ に対し $a_I=\prod_{i\in I}a_i$ とおく。すると $S_r=\sum_{|I|=r}a_I$ である。大きさ $k$ の部分集合は $\binom nk$ 個ある。