第2問

a_1,a_2,\ldots,a_n

を正の実数とし、

S_r

をそれらから

r

個を選んだ積の総和とする。

k=1,2,\ldots,n-1

に対して

S_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n

を証明せよ。

ステップ 2/4: 各部分集合をその補集合と組にする

a_Ia_{I^c}=\prod_{i=1}^na_i=S_n\qquad(|I|=k)

詳しい解説

$|I|=k$ なら $|I^c|=n-k$ である。 $I$ 上の積と $I^c$ 上の積を掛けると全変数の積、すなわち $S_n=a_1a_2\cdots a_n$ になる。