第2問

a_1,a_2,\ldots,a_n

を正の実数とし、

S_r

をそれらから

r

個を選んだ積の総和とする。

k=1,2,\ldots,n-1

に対して

S_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n

を証明せよ。

ステップ 3/4: 2つの因子を同じ添字集合で書き直す

S_kS_{n-k}=\left(\sum_{|I|=k}a_I\right)\left(\sum_{|I|=k}a_{I^c}\right)

詳しい解説

補集合を取る写像は $k$ 元部分集合から $(n-k)$ 元部分集合への全単射である。したがって第2の対称和も同じ $k$ 元部分集合で添字付けでき、表示された積を得る。