MathLabs

第2問

a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n を正の実数とし、SrS_r をそれらから rr 個を選んだ積の総和とする。k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1 に対して SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n を証明せよ。
ステップ 4/4: コーシー・シュワルツを適用して結論する
前のステップ次のステップ
SkSn−k≥(∑∣I∣=kaIaIc)2=(nk)2SnS_kS_{n-k}\ge\left(\sum_{|I|=k}\sqrt{a_Ia_{I^c}}\right)^2=\binom nk^2S_n
詳しい解説

コーシー・シュワルツの形 (∑xI)(∑yI)≥(∑xIyI)2(\sum x_I)(\sum y_I)\ge(\sum\sqrt{x_Iy_I})^2 から最初の不等式を得る。補集合の関係により各平方根は Sn\sqrt{S_n} に等しく、項数は (nk)\binom nk である。したがって SkSn−k≥(nk)2SnS_kS_{n-k}\ge\binom nk^2S_n となる。