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第3問

底辺 ABAB が固定され、CC からの高さが一定値 hh であるすべての三角形 ABCABC を考える。3本の高さの積が最大になるのはどの三角形か。
ステップ 4/5: 直角三角形的情形
前のステップ次のステップ
h≤AB2⇒C=90∘ is attainable and sin⁡C=1h\le\frac{AB}{2}\Rightarrow C=90^\circ\text{ is attainable and }\sin C=1
詳しい解説

h≤AB/2h\le AB/2 なら、高さ hh の点 CC を直径 ABAB の円周上に取れる。これは ∠C=90∘\angle C=90^\circ の三角形が存在することと同値である。sin⁡C≤1\sin C\le1 なので、この三角形は正弦の最大値、ひいては高さの積の最大値を実現する。等号の場合は二等辺直角三角形である。