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第3問

底辺 ABAB が固定され、CC からの高さが一定値 hh であるすべての三角形 ABCABC を考える。3本の高さの積が最大になるのはどの三角形か。
ステップ 5/5: 高い位置の三角形は二等辺になる
前のステップ次のステップ
h>AB2⇒C<90∘,sin⁡C is maximal⟺AC=BCh>\frac{AB}{2}\Rightarrow C<90^\circ,\quad\sin C\text{ is maximal}\Longleftrightarrow AC=BC
詳しい解説

h>AB/2h>AB/2 なら、CC の角は必ず鋭角である。ABAB と高さを固定して CC の水平方向の位置を動かすと、CC が ABAB の中点の真上、すなわち AC=BCAC=BC のとき ∠C\angle C が最大になることが分かる。鋭角ではこれが sin⁡C\sin C を最大にするので、求める三角形は二等辺三角形である。