MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 1991年

問題

  1. 第1問Gを三角形ABCの重心、MをBCの中点とする。AB上の点XとAC上の点YがX、Y、Gと一直線上にあり、XYがBCに平行であるとする。XCとGBの交点をQ、YBとGCの交点をPとする。三角形MPQが三角形ABCと相似であることを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問平面上に997個の点が与えられている。任意の2点を結ぶ線分の中点を赤く塗る。赤い点が少なくとも1991個あることを証明し、赤い点がちょうど1991個になる特別な例を求めよ。解答: 1
  3. 第3問正の実数a_1,a_2,...,a_nとb_1,b_2,...,b_nがa_1+...+a_n=b_1+...+b_nを満たすとする。∑i=1nai2ai+bi≥a1+⋯+an2\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}を証明せよ。解答: 1
  4. 第4問休み時間にn人の子どもが輪になって座っている。先生は1人を選んで飴を渡し、次の1人を飛ばしてその次の人に渡し、以後は2人、3人というように飛ばす。最終的に全員が少なくとも1個の飴を受け取るnをすべて求めよ。解答: 1
  5. 第5問2つの接する円と、それらの中心を結ぶ直線に垂直な共通接線上の点Pが与えられている。定規とコンパスを用いて、2円に接し、Pを通るすべての円を作図せよ。解答: 1