第3問

正の実数a_1,a_2,...,a_nとb_1,b_2,...,b_nがa_1+...+a_n=b_1+...+b_nを満たすとする。

\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}

を証明せよ。

ステップ 1/3: コーシー・シュワルツ不等式を適用する

\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{a_i+b_i}\right)\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\right)\ge\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2.

詳しい解説

正の分母a_i+b_iに対して、不等式をエンゲル形で適用する。各分母が正なので、すべての割り算は正当である。