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アジア太平洋数学オリンピック
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1991年
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第3問
第3問
正の実数a_1,a_2,...,a_nとb_1,b_2,...,b_nがa_1+...+a_n=b_1+...+b_nを満たすとする。
∑
i
=
1
n
a
i
2
a
i
+
b
i
≥
a
1
+
⋯
+
a
n
2
\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}
∑
i
=
1
n
a
i
+
b
i
a
i
2
≥
2
a
1
+
⋯
+
a
n
を証明せよ。
ステップ 2/3: 等和の仮定を使う
前のステップ
次のステップ
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
)
=
∑
a
i
+
∑
b
i
=
2
∑
a
i
.
\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum a_i+\sum b_i=2\sum a_i.
i
=
1
∑
n
(
a
i
+
b
i
)
=
∑
a
i
+
∑
b
i
=
2
∑
a
i
.
詳しい解説
仮定により2つの和は等しいので、すべての分母の和は共通の和の2倍である。
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