第3問

正の実数a_1,a_2,...,a_nとb_1,b_2,...,b_nがa_1+...+a_n=b_1+...+b_nを満たすとする。

\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}

を証明せよ。

ステップ 3/3: 下界を簡約する

\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{a_i+b_i}\ge\frac{(\sum a_i)^2}{2\sum a_i}=\frac12\sum a_i.

詳しい解説

分母の和をコーシー・シュワルツによる評価に代入し、正の共通の和を約分する。これで求める不等式そのものが得られる。