第2問

中心

O

、半径

r

の円

C

の内部に、中心

O_1,O_2

、半径

r_1,r_2

の円

C_1,C_2

を置く。各

C_i

は

C

に

A_i

で内接し、

C_1,C_2

は

A

で外接する。直線

OA

、

O_1A_2

、

O_2A_1

が一点で交わることを証明せよ。

ステップ 3/4: 中心三角形でチェバの定理を適用する

\frac{OA_1}{A_1O_1}\cdot\frac{O_1A}{AO_2}\cdot\frac{O_2A_2}{A_2O}=\frac{r}{r_1}\cdot\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{r_2}{r}=1

詳しい解説

三角形 $OO_1O_2$ のセバ線は $O_2A_1$ 、 $OA$ 、 $O_1A_2$ である。3つの有向辺比の積が $1$ なので、これはチェバの定理の条件であり、3直線は共点である。