アジア太平洋数学オリンピック · 1992年

問題

第1問辺a,b,cをもつ三角形を考える。その半周長をs=(a+b+c)/2とする。辺s-a,s-b,s-cをもつ三角形を作り、可能な限りこの操作を繰り返す。この操作を無限に続けられる元の三角形をすべて求めよ。解答: 1
第2問中心 $O$ 、半径 $r$ の円 $C$ の内部に、中心 $O_1,O_2$ 、半径 $r_1,r_2$ の円 $C_1,C_2$ を置く。各 $C_i$ は $C$ に $A_i$ で内接し、 $C_1,C_2$ は $A$ で外接する。直線 $OA$ 、 $O_1A_2$ 、 $O_2A_1$ が一点で交わることを証明せよ。解答: 1
第3問整数 $n>3$ をとる。集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ から3個の数を選び、それぞれを1回ずつ使って、加法・乗法・括弧による可能なすべての式を作る。(a) 選んだ3数がすべて $n/2$ より大きいなら、得られる値はすべて異なることを示せ。(b) $p\le \sqrt{n}$ を満たす素数 $p$ について、最小の数が $p$ で、式の値がすべて異なるわけではない選び方の数が、 $p-1$ の正の約数の個数に等しいことを示せ。解答: 1
第4問次の性質をもつ正整数の組 $(h,s)$ をすべて求めよ。 $h$ 本の水平線と、(i)水平でなく、(ii)互いに平行でなく、(iii) $h+s$ 本のうち3本が一点で交わらない $s$ 本の直線を引いたとき、できる領域の数が $1992$ となるものを求めよ。解答: 1
第5問0でない整数からなる数列で、任意の7個の連続項の和が正、任意の11個の連続項の和が負となるものの最大長を求めよ。解答: 1