MathLabs

第3問

整数 n>3n>3 をとる。集合 {1,2,…,n}\{1,2,\ldots,n\} から3個の数を選び、それぞれを1回ずつ使って、加法・乗法・括弧による可能なすべての式を作る。(a) 選んだ3数がすべて n/2n/2 より大きいなら、得られる値はすべて異なることを示せ。(b) p≤np\le \sqrt{n} を満たす素数 pp について、最小の数が pp で、式の値がすべて異なるわけではない選び方の数が、p−1p-1 の正の約数の個数に等しいことを示せ。
ステップ 2/7: 式を2つの増加列に並べる
x+y+z<z+xy<y+zx<x+yz,(y+z)x<(x+z)y<(x+y)z<xyzx+y+z<z+xy<y+zx<x+yz,\qquad (y+z)x<(x+z)y<(x+y)z<xyz
詳しい解説

1<m<n1<m<n、t>1t>1 に対する mn>m+nmn>m+n、tn+m−(tm+n)=(t−1)(n−m)>0tn+m-(tm+n)=(t-1)(n-m)>0、(t+m)n−(t+n)m=t(n−m)>0(t+m)n-(t+n)m=t(n-m)>0 を用いる。x<y<zx<y<z に適用すると、表示した2つの増加列を得る。