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第3問

整数 n>3n>3 をとる。集合 {1,2,…,n}\{1,2,\ldots,n\} から3個の数を選び、それぞれを1回ずつ使って、加法・乗法・括弧による可能なすべての式を作る。(a) 選んだ3数がすべて n/2n/2 より大きいなら、得られる値はすべて異なることを示せ。(b) p≤np\le \sqrt{n} を満たす素数 pp について、最小の数が pp で、式の値がすべて異なるわけではない選び方の数が、p−1p-1 の正の約数の個数に等しいことを示せ。
ステップ 4/7: 唯一可能な等式を因数分解する
x+yz=(y+z)x⟺(y−x)(z−x)=x(x−1)x+yz=(y+z)x\Longleftrightarrow (y-x)(z-x)=x(x-1)
詳しい解説

可能な等式を展開して整理すると yz−xy−xz+x=0yz-xy-xz+x=0 となる。因数分解すれば (y−x)(z−x)=x(x−1)(y-x)(z-x)=x(x-1) であり、これが式の値が重なるための必要十分条件である。