第3問

整数

n>3

をとる。集合

\{1,2,\ldots,n\}

から3個の数を選び、それぞれを1回ずつ使って、加法・乗法・括弧による可能なすべての式を作る。(a) 選んだ3数がすべて

n/2

より大きいなら、得られる値はすべて異なることを示せ。(b)

p\le \sqrt{n}

を満たす素数

p

について、最小の数が

p

で、式の値がすべて異なるわけではない選び方の数が、

p-1

の正の約数の個数に等しいことを示せ。

ステップ 6/7: (b)の重複値をもつ選び方をパラメータ表示する

前のステップ次のステップ

x=p,\qquad (y-p)(z-p)=p(p-1),\qquad d=y-p\mid(p-1)

詳しい解説

$x=p$ とおく。等式条件から $(y-p)(z-p)=p(p-1)$ を得る。 $y-p<z-p$ なので $(y-p)^2<p(p-1)$ 、従って $y-p<p$ 。 $p$ は素数だから $p$ は $y-p$ を割らず、 $d=y-p$ は $p-1$ を割る。逆に、 $p-1$ の任意の正の約数 $d$ は $x=p$ 、 $y=p+d$ 、 $z=p+\frac{p(p-1)}{d}$ を与える。