アジア太平洋数学オリンピック · 1993年

問題

第1問 $ABCD$ を、すべての辺が等しく $\angle ABC=60^\circ$ である四角形とする。 $D$ を通り、 $D$ 以外では四角形と交わらない直線を $\ell$ とする。 $\ell$ と $AB,BC$ との交点をそれぞれ $E,F$ とし、 $M=CE\cap AF$ とおく。 $CA^2=CM\cdot CE$ を証明せよ。解答: 1
第2問 $0\le x\le100$ を満たす実数 $x$ に対して、 $f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\left\lfloor\frac{5x}{3}\right\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor$ がとる異なる整数値の総数を求めよ。解答: 1
第3問 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ と $g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0$ を0でない実係数多項式とし、ある実数 $r$ に対して $g(x)=(x+r)f(x)$ が成り立つとする。 $a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)$ 、 $c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)$ とおくとき、 $\frac{a}{c}\le n+1$ を証明せよ。解答: 1
第4問 $x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0$ が整数解をもつような正整数 $n$ をすべて求めよ。解答: 1
第5問 $xy$ 平面上の整数座標をもつ相異なる点 $P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0$ をとる。各 $i=0,1,\ldots,1992$ について、線分 $P_iP_{i+1}$ 上には $P_i$ と $P_{i+1}$ 以外に両座標が整数である点はないとする。ある $i$ （ $0\le i\le1992$ ）について、 $P_iP_{i+1}$ 上に $Q=(q_x,q_y)$ が存在し、 $2q_x$ と $2q_y$ がともに奇整数であることを証明せよ。解答: 1