MathLabs

第2問

0≤x≤1000\le x\le100 を満たす実数 xx に対して、f(x)=⌊x⌋+⌊2x⌋+⌊5x3⌋+⌊3x⌋+⌊4x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\left\lfloor\frac{5x}{3}\right\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor がとる異なる整数値の総数を求めよ。
ステップ 1/5: 問題を1周期に縮約する
f(x+3)=f(x)+35f(x+3)=f(x)+35
詳しい解説

任意の整数 mm について ⌊t+m⌋=⌊t⌋+m\lfloor t+m\rfloor=\lfloor t\rfloor+m である。5つの項に適用すると f(x+3)=f(x)+3+6+5+9+12=f(x)+35f(x+3)=f(x)+3+6+5+9+12=f(x)+35 を得る。したがって長さ 33 の各区間で値は 3535 だけずれて繰り返される。