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第1問

ABCDABCD を、すべての辺が等しく ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ である四角形とする。DD を通り、DD 以外では四角形と交わらない直線を ℓ\ell とする。ℓ\ell と AB,BCAB,BC との交点をそれぞれ E,FE,F とし、M=CE∩AFM=CE\cap AF とおく。CA2=CM⋅CECA^2=CM\cdot CE を証明せよ。
ステップ 2/5: 最初の相似から長さの比を得る
前のステップ次のステップ
△AED∼△CDF⟹AECD=ADCF⟹AEAC=ACCF\triangle AED\sim\triangle CDF\Longrightarrow \frac{AE}{CD}=\frac{AD}{CF}\Longrightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AC}{CF}
詳しい解説

2つの正三角形から AD∥BCAD\parallel BC と CD∥ABCD\parallel AB が得られる。E,D,FE,D,F は一直線上にあるので、三角形 AEDAED と CDFCDF は相似である。よって AE/CD=AD/CFAE/CD=AD/CF であり、ADAD と CDCD を ACAC に置き換えると AE/AC=AC/CFAE/AC=AC/CF を得る。