MathLabs

第1問

ABCDABCD を、すべての辺が等しく ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ である四角形とする。DD を通り、DD 以外では四角形と交わらない直線を ℓ\ell とする。ℓ\ell と AB,BCAB,BC との交点をそれぞれ E,FE,F とし、M=CE∩AFM=CE\cap AF とおく。CA2=CM⋅CECA^2=CM\cdot CE を証明せよ。
ステップ 3/5: 2つ目の相似を示す
前のステップ次のステップ
∠EAC=180∘−∠BAC=120∘=∠ACF⟹△EAC∼△ACF\angle EAC=180^\circ-\angle BAC=120^\circ=\angle ACF\Longrightarrow \triangle EAC\sim\triangle ACF
詳しい解説

EE は BB と反対側の直線 ABAB 上にあるので、∠EAC=180∘−∠BAC=120∘\angle EAC=180^\circ-\angle BAC=120^\circ である。また三角形 ACDACD は正三角形で、CFCF は ADAD に平行だから ∠ACF=120∘\angle ACF=120^\circ である。AE/AC=AC/CFAE/AC=AC/CF と合わせ、2辺とその間の角により △EAC∼△ACF\triangle EAC\sim\triangle ACF となる。