MathLabs

第1問

ABCDABCD を、すべての辺が等しく ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ である四角形とする。DD を通り、DD 以外では四角形と交わらない直線を ℓ\ell とする。ℓ\ell と AB,BCAB,BC との交点をそれぞれ E,FE,F とし、M=CE∩AFM=CE\cap AF とおく。CA2=CM⋅CECA^2=CM\cdot CE を証明せよ。
ステップ 5/5: 接線・割線の冪の定理を適用する
前のステップ次のステップ
CA is tangent to (AME)⟹CA2=CM⋅CECA\text{ is tangent to }(AME)\Longrightarrow CA^2=CM\cdot CE
詳しい解説

接線と弦の定理により、∠CAM=∠AEC\angle CAM=\angle AEC は CACA が AA で AMEAME の外接円に接することを示す。直線 CECE は CC を通る割線であり、その円と MM および EE で交わる。したがって点 CC の冪から CA2=CM⋅CECA^2=CM\cdot CE を得る。