MathLabs

第3問

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 と g(x)=cn+1xn+1+cnxn+⋯+c0g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0 を0でない実係数多項式とし、ある実数 rr に対して g(x)=(x+r)f(x)g(x)=(x+r)f(x) が成り立つとする。a=max⁡(∣an∣,…,∣a0∣)a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)、c=max⁡(∣cn+1∣,…,∣c0∣)c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|) とおくとき、ac≤n+1\frac{a}{c}\le n+1 を証明せよ。
ステップ 1/5: 積を展開して係数漸化式を記す
前のステップ次のステップ
cn+1=an,ck=ak−1+rak (1≤k≤n),c0=ra0c_{n+1}=a_n,\qquad c_k=a_{k-1}+ra_k\ (1\le k\le n),\qquad c_0=ra_0
詳しい解説

g(x)=(x+r)f(x)g(x)=(x+r)f(x) の係数を比較すると、cn+1=anc_{n+1}=a_n、1≤k≤n1\le k\le n に対して ck=ak−1+rakc_k=a_{k-1}+ra_k、そして c0=ra0c_0=ra_0 となる。定義により gg の各係数の絶対値は cc 以下である。