第3問

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

と

g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0

を0でない実係数多項式とし、ある実数

r

に対して

g(x)=(x+r)f(x)

が成り立つとする。

a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)

、

c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)

とおくとき、

\frac{a}{c}\le n+1

を証明せよ。

ステップ 2/5: r=0 の場合を扱う

r=0\Longrightarrow a=c\Longrightarrow \frac{a}{c}=1\le n+1

詳しい解説

$r=0$ なら $c_0=0$ 、 $1\le k\le n$ で $c_k=a_{k-1}$ 、また $c_{n+1}=a_n$ である。したがって最大値は一致して $a=c$ となり、 $f$ は0でないので $a=c>0$ 。ゆえに $\frac{a}{c}=1\le n+1$ である。