第3問

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

と

g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0

を0でない実係数多項式とし、ある実数

r

に対して

g(x)=(x+r)f(x)

が成り立つとする。

a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)

、

c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)

とおくとき、

\frac{a}{c}\le n+1

を証明せよ。

ステップ 4/5: |r| が 1 未満のとき後ろ向き帰納法を使う

前のステップ次のステップ

0<|r|<1\Longrightarrow |a_n|\le c,\quad |a_{n-1}|<2c,\quad |a_{n-k}|<(k+1)c

詳しい解説

$0<|r|<1$ なら $|a_n|=|c_{n+1}|\le c$ 、 $|a_{n-1}|=|c_n-ra_n|<c+c=2c$ である。 $|a_{n-k}|\le(k+1)c$ とすると、 $|a_{n-k-1}|=|c_{n-k}-ra_{n-k}|<c+(k+1)c=(k+2)c$ 。したがってすべての係数は $|a_j|\le(n+1)c$ を満たす。