第4問

x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0

が整数解をもつような正整数

n

をすべて求めよ。

ステップ 6/6: 2進指数の矛盾を導く

v_2(y^n)\ge n>1\quad\text{but}\quad v_2(-2T)=1\Longrightarrow\text{contradiction}

詳しい解説

$T$ は奇数なので右辺 $-2T$ は $2$ をちょうど1個含む。しかし $y$ は偶数だから $y^n$ は少なくとも $n>1$ 個の $2$ を含む。この矛盾により奇数 $n>1$ はすべて排除される。以上から答えは $n=1$ だけである。