第5問

xy

平面上の整数座標をもつ相異なる点

P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0

をとる。各

i=0,1,\ldots,1992

について、線分

P_iP_{i+1}

上には

P_i

と

P_{i+1}

以外に両座標が整数である点はないとする。ある

i

（

0\le i\le1992

）について、

P_iP_{i+1}

上に

Q=(q_x,q_y)

が存在し、

2q_x

と

2q_y

がともに奇整数であることを証明せよ。

ステップ 3/3: 中点を取る

Q=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right),\qquad 2q_x=a+c,\quad2q_y=b+d

詳しい解説

2点が同じ偶奇類なので、 $a+c$ と $b+d$ は同じ偶奇性をもつ。両方が偶数なら $Q$ は線分内部の整数格子点となり、仮定に反する。したがって両方は奇数である。中点は線分上にあり、 $2q_x=a+c$ 、 $2q_y=b+d$ はともに奇整数となる。