アジア太平洋数学オリンピック · 1994年

問題

第1問 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ が、すべての実数 $x,y$ に対して $f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y)$ を満たし、さらに $x\in[0,1)$ では $f(0)\ge f(x)$ 、また $-f(-1)=f(1)=1$ であるとする。このような関数をすべて求めよ。解答: 1
第2問外心 $O$ 、垂心 $H$ 、外接円の半径 $R$ をもつ非退化三角形 $ABC$ に対して、 $|OH|<3R$ を証明せよ。解答: 1
第3問 $n=a^2+b^2$ と表せ、 $a,b$ が互いに素な正整数であり、すべての素数 $p <= sqrt(n)$ が $ab$ を割り切るような正整数 $n$ をすべて求めよ。解答: 1
第4問平面上に、どの3点も一直線上に並ばず、任意の2点間の距離が有理数である無限集合は存在するか。解答: 1
第5問リスト $A$ は整数 $k\ge1$ に対する十進数 $10^k$ からなる。リスト $B$ と $C$ はそれぞれ、これらの数を $2$ 進法と $5$ 進法で表したものからなる。任意の整数 $n>1$ に対し、 $B$ と $C$ のちょうど一方に、ちょうど $n$ 桁の数がちょうど1つあることを証明せよ。解答: 1