MathLabs

第1問

f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R が、すべての実数 x,yx,y に対して f(x)+f(y)+1≥f(x+y)≥f(x)+f(y)f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y) を満たし、さらに x∈[0,1)x\in[0,1) では f(0)≥f(x)f(0)\ge f(x)、また −f(−1)=f(1)=1-f(-1)=f(1)=1 であるとする。このような関数をすべて求めよ。
ステップ 2/4: y=−1y=-1 の場合に適用する
前のステップ次のステップ
f(x)≤f(x+1)≤f(x)+1f(x)\le f(x+1)\le f(x)+1
詳しい解説

y=−1y=-1 とし、xx を x+1x+1 に置き換える。f(−1)=−1f(-1)=-1 なので不等式は f(x)≤f(x+1)≤f(x)+1f(x)\le f(x+1)\le f(x)+1 となる。先ほどの評価と合わせれば f(x+1)=f(x)+1f(x+1)=f(x)+1 が従う。