MathLabs

第1問

f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R が、すべての実数 x,yx,y に対して f(x)+f(y)+1≥f(x+y)≥f(x)+f(y)f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y) を満たし、さらに x∈[0,1)x\in[0,1) では f(0)≥f(x)f(0)\ge f(x)、また −f(−1)=f(1)=1-f(-1)=f(1)=1 であるとする。このような関数をすべて求めよ。
ステップ 3/4: [0,1)[0,1) 上の値を決める
前のステップ次のステップ
f(0)=0,f(x)≤0 (0≤x<1),f(x)+f(1−x)≥0f(0)=0,\qquad f(x)\le0\ (0\le x<1),\qquad f(x)+f(1-x)\ge0
詳しい解説

f(1)=f(0)+1=1f(1)=f(0)+1=1 から f(0)=0f(0)=0 が分かり、条件 (ii) より 0≤x<10\le x<1 では f(x)≤0f(x)\le0 である。定義不等式を xx と 1−x1-x に適用すると f(x)+f(1−x)≥0f(x)+f(1-x)\ge0 を得る。