MathLabs

第1問

f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R が、すべての実数 x,yx,y に対して f(x)+f(y)+1≥f(x+y)≥f(x)+f(y)f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y) を満たし、さらに x∈[0,1)x\in[0,1) では f(0)≥f(x)f(0)\ge f(x)、また −f(−1)=f(1)=1-f(-1)=f(1)=1 であるとする。このような関数をすべて求めよ。
ステップ 4/4: 平行移動で拡張して検証する
前のステップ次のステップ
f(x)=0 (0≤x<1),f(x)=⌊x⌋ (x∈R)f(x)=0\ (0\le x<1),\qquad f(x)=\lfloor x\rfloor\ (x\in\mathbb R)
詳しい解説

0<x<10<x<1 では f(x)f(x) と f(1−x)f(1-x) はともに非正で、その和は非負だから、両方とも0である。また f(0)=0f(0)=0 である。f(x+1)=f(x)+1f(x+1)=f(x)+1 を繰り返し使えば f(x)=⌊x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor を得る。逆に、0≤{x}+{y}<20\le\{x\}+\{y\}<2 から ⌊x⌋+⌊y⌋≤⌊x+y⌋≤⌊x⌋+⌊y⌋+1\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\le\lfloor x+y\rfloor\le\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1 が従うので、この関数はすべての条件を満たす。