MathLabs

第4問

平面上に、どの3点も一直線上に並ばず、任意の2点間の距離が有理数である無限集合は存在するか。
ステップ 3/4: 非零整数倍の正弦が0でないことを示す
前のステップ次のステップ
sin⁡(kθ)=ak5k,ak+1=6ak−25ak−1,ak≡4(mod5) (k≥1)\sin(k\theta)=\frac{a_k}{5^k},\qquad a_{k+1}=6a_k-25a_{k-1},\qquad a_k\equiv4\pmod5\ (k\ge1)
詳しい解説

k≥1k\ge1 で sin⁡(kθ)=ak/5k\sin(k\theta)=a_k/5^k と書く。漸化式は ak+1=6ak−25ak−1a_{k+1}=6a_k-25a_{k-1}、a0=0,a1=4a_0=0,a_1=4 を与えるので ak+1≡ak≡4(mod5)a_{k+1}\equiv a_k\equiv4\pmod5。したがって k≠0k\ne0 なら sin⁡(kθ)≠0\sin(k\theta)\ne0 であり、負の kk については奇関数性から従う。