弦の公式より PmPn=2∣sin((m−n)θ)∣P_mP_n=2|\sin((m-n)\theta)|PmPn=2∣sin((m−n)θ)∣ は有理数である。Pm=PnP_m=P_nPm=Pn なら (m−n)θ(m-n)\theta(m−n)θ は π\piπ の整数倍となるが、先の非零性に反するので m=nm=nm=n。したがって点は無限個で相異なる。すべて同一円上にあり、直線と円の交点は高々2個だから、3点が一直線上に並ぶことはない。