MathLabs

第5問

リスト AA は整数 k≥1k\ge1 に対する十進数 10k10^k からなる。リスト BB と CC はそれぞれ、これらの数を 22 進法と 55 進法で表したものからなる。任意の整数 n>1n>1 に対し、BB と CC のちょうど一方に、ちょうど nn 桁の数がちょうど1つあることを証明せよ。
ステップ 3/4: ビーティ列のパラメータを確認する
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1log⁡210+1log⁡510=log⁡102+log⁡105=1\frac1{\log_2 10}+\frac1{\log_5 10}=\log_{10}2+\log_{10}5=1
詳しい解説

α=log⁡210\alpha=\log_2 10、β=log⁡510\beta=\log_5 10 とおく。これらは無理数であり、1/log⁡210=log⁡1021/\log_2 10=\log_{10}2、1/log⁡510=log⁡1051/\log_5 10=\log_{10}5 だから 1/α+1/β=11/\alpha+1/\beta=1 を満たす。