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第5問

リスト AA は整数 k≥1k\ge1 に対する十進数 10k10^k からなる。リスト BB と CC はそれぞれ、これらの数を 22 進法と 55 進法で表したものからなる。任意の整数 n>1n>1 に対し、BB と CC のちょうど一方に、ちょうど nn 桁の数がちょうど1つあることを証明せよ。
ステップ 4/4: ビーティの定理を適用する
前のステップ次のステップ
{⌊kα⌋:k≥1}∪{⌊kβ⌋:k≥1}=Z>0\{\lfloor k\alpha\rfloor:k\ge1\}\cup\{\lfloor k\beta\rfloor:k\ge1\}=\mathbb Z_{>0}
詳しい解説

ビーティの定理により、数列 ⌊kα⌋\lfloor k\alpha\rfloor と ⌊kβ⌋\lfloor k\beta\rfloor は正整数を分割する。これらはそれぞれ bk−1b_k-1 と ck−1c_k-1 なので、各 n>1n>1 はちょうど一方のリストの桁数として一度だけ現れる。