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アジア太平洋数学オリンピック · 1995年

問題

  1. 第1問2an−(n−1)≥an+1−(n−1)2\sqrt{a_n-(n-1)}\ge a_{n+1}-(n-1)（n=1,2,…,1994n=1,2,\ldots,1994）および 2a1995−1994≥a1+12\sqrt{a_{1995}-1994}\ge a_1+1 を満たす実数列 (a1,a2,…,a1995)(a_1,a_2,\ldots,a_{1995}) をすべて求めよ。解答: 1
  2. 第3問PQRSPQRS を円に内接する四角形とし、直線 PQPQ と RSRS は平行でないとする。P,QP,Q を通る円と R,SR,S を通る円の接点全体の集合を A\mathcal A とする。A\mathcal A を求めよ。解答: 1
  3. 第4問半径 RR、中心 OO の円を CC とし、SS をその内部の定点とする。SS を通る垂直な弦を AA′AA'、BB′BB' とし、長方形 SAMBSAMB、SB′N′A′SB'N'A'、SA′M′B′SA'M'B'、SBNASBNA を作る。AA が CC 上を動くとき、4点 M,N′,M′,NM,N',M',N の軌跡を求めよ。解答: 1
  4. 第5問∣x−y∣∈{5,7,12}|x-y|\in\{5,7,12\} ならば常に f(x)≠f(y)f(x)\ne f(y) となる関数 f:Z→{1,2,…,k}f:\mathbb Z\to\{1,2,\dots,k\} が存在するような最小の正整数 kk を求めよ。解答: 1