MathLabs

第1問

2an−(n−1)≥an+1−(n−1)2\sqrt{a_n-(n-1)}\ge a_{n+1}-(n-1)（n=1,2,…,1994n=1,2,\ldots,1994）および 2a1995−1994≥a1+12\sqrt{a_{1995}-1994}\ge a_1+1 を満たす実数列 (a1,a2,…,a1995)(a_1,a_2,\ldots,a_{1995}) をすべて求めよ。
ステップ 3/4: 平方完成して等号を強制する
前のステップ次のステップ
0≥∑n=11995(xn−2xn+1)=∑n=11995(xn−1)2≥00\ge\sum_{n=1}^{1995}(x_n-2\sqrt{x_n}+1)=\sum_{n=1}^{1995}(\sqrt{x_n}-1)^2\ge0
詳しい解説

和の不等式を移項すると左端の評価となる。xn−2xn+1=(xn−1)2≥0x_n-2\sqrt{x_n}+1=(\sqrt{x_n}-1)^2\ge0 なので、両方の不等式が成り立つには全ての平方が0でなければならない。従って xn=1x_n=1 が全ての nn で成り立つ。