MathLabs

第5問

∣x−y∣∈{5,7,12}|x-y|\in\{5,7,12\} ならば常に f(x)≠f(y)f(x)\ne f(y) となる関数 f:Z→{1,2,…,k}f:\mathbb Z\to\{1,2,\dots,k\} が存在するような最小の正整数 kk を求めよ。
ステップ 3/5: 4色彩色を完成する
f(x)≠f(y)whenever ∣x−y∣∈{5,7,12}f(x)\ne f(y)\quad\text{whenever }|x-y|\in\{5,7,12\}
詳しい解説

各段階で使える最小の色を選ぶ。前段の評価により使える色は必ず存在する。禁止される各組は後の端点を彩色する時点で検査されるので、得られた関数は ∣x−y∣∈{5,7,12}|x-y|\in\{5,7,12\} なら f(x)≠f(y)f(x)\ne f(y) を満たす。従って k≤4k\le4 である。