第5問

|x-y|\in\{5,7,12\}

ならば常に

f(x)\ne f(y)

となる関数

f:\mathbb Z\to\{1,2,\dots,k\}

が存在するような最小の正整数

k

を求めよ。

ステップ 5/5: 距離12の条件に矛盾させる

f(x)=f(x+2)=\cdots=f(x+12),\qquad |(x+12)-x|=12

詳しい解説

$f(x+2)=f(x)$ を繰り返すと、 $x$ から $x+12$ まで6回の増分で同じ色になる。しかし距離が12なので定義条件は $f(x)\ne f(x+12)$ を要求する。よって3色は不可能で $k\ge4$ 、構成と合わせて $k=4$ である。 $12$