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第1問

AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA を満たす四角形 ABCDABCD をとる。MNMN と PQPQ は対角線 BDBD に垂直な線分で、M∈ADM\in AD、N∈DCN\in DC、P∈ABP\in AB、Q∈BCQ\in BC とし、その距離を d>BD/2d>BD/2 とする。距離を dd に保ったまま MNMN と PQPQ を動かすとき、六角形 AMNCQPAMNCQP の周長が位置によらないことを示せ。
ステップ 1/5: 2つの切断線を符号付き位置でパラメータ化する
前のステップ次のステップ
h=BD2,s<0<t,t−s=dh=\frac{BD}{2},\qquad s<0<t,\qquad t-s=d
詳しい解説

OO を BDBD の中点とし、h=BD/2h=BD/2 とおく。OO から BDBD に沿う符号付き距離を測る。MNMN は AD,DCAD,DC と、PQPQ は AB,BCAB,BC と交わるので、その位置をそれぞれ s<0s<0 と書く。垂直距離は t−s=dt-s=d である。 t>0t>0