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第2問

n≤mn\le m を満たす正整数 m,nm,n に対して、2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n を証明せよ。
ステップ 3/4: 各因子の上下界を示す
前のステップ次のステップ
2i≤m2+m−i2+i≤m2+m(1≤i≤n≤m)2i\le m^2+m-i^2+i\le m^2+m\qquad(1\le i\le n\le m)
詳しい解説

上界は i≥1i\ge1 より −i2+i≤0-i^2+i\le0 である。下界は m2+m−i2+i≥2im^2+m-i^2+i\ge2i と同値な m2+m≥i2+im^2+m\ge i^2+i であり、i≤mi\le m と正の uu に対する u2+uu^2+u の増加性から成り立つ。