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第2問

n≤mn\le m を満たす正整数 m,nm,n に対して、2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n を証明せよ。
ステップ 4/4: 上下界を掛け合わせる
前のステップ次のステップ
∏i=1n2i=2nn!≤∏i=1n(m+i)(m−i+1)≤∏i=1n(m2+m)=(m2+m)n\prod_{i=1}^n2i=2^n n!\le\prod_{i=1}^n(m+i)(m-i+1)\le\prod_{i=1}^n(m^2+m)=(m^2+m)^n
詳しい解説

各因子は正なので、項別不等式を掛けても向きは保たれる。第1段の積の恒等式を使えば、まさに 2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\frac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n が得られる。