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第5問

a,b,ca,b,c を三角形の辺の長さとする。a+b−c+b+c−a+c+a−b≤a+b+c\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c を証明し、等号成立条件を求めよ。
ステップ 2/5: 補題を適用して平方根 a の項を得る
前のステップ次のステップ
a=(a+b−c)+(c+a−b)2≥a+b−c+c+a−b2\sqrt{a}=\sqrt{\frac{(a+b-c)+(c+a-b)}{2}}\ge\frac{\sqrt{a+b-c}+\sqrt{c+a-b}}{2}
詳しい解説

三角形の不等式により3つの根号内は正である。(a+b−c)+(c+a−b)=2a(a+b-c)+(c+a-b)=2a なので、補題を x=a+b−cx=a+b-c に適用すると a\sqrt a の表示が得られる。 y=c+a−by=c+a-b