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第5問

a,b,ca,b,c を三角形の辺の長さとする。a+b−c+b+c−a+c+a−b≤a+b+c\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c を証明し、等号成立条件を求めよ。
ステップ 3/5: 残り2辺に補題を適用する
前のステップ次のステップ
b=(a+b−c)+(b+c−a)2≥a+b−c+b+c−a2,c=(b+c−a)+(c+a−b)2≥b+c−a+c+a−b2\sqrt{b}=\sqrt{\frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2}}\ge\frac{\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}}{2},\quad\sqrt{c}=\sqrt{\frac{(b+c-a)+(c+a-b)}{2}}\ge\frac{\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}}{2}
詳しい解説

残り2組に同じ補題を適用すれば b\sqrt b と c\sqrt c の評価を得る。前段と加えると、各根号内の平方根は右辺にちょうど2回現れ、2で割られる。