MathLabs

第1問

Tn=1+2+⋯+n=n(n+1)/2T_n=1+2+\cdots+n=n(n+1)/2、Sn=1/T1+1/T2+⋯+1/TnS_n=1/T_1+1/T_2+\cdots+1/T_n とする。1/S1+1/S2+⋯+1/S1996>10011/S_1+1/S_2+\cdots+1/S_{1996}>1001 を証明せよ。
ステップ 2/5: SnS_n を望遠和にする
前のステップ次のステップ
Sn=2(1−1n+1)=2nn+1,1Sn=12+12nS_n=2\left(1-\frac1{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1},\qquad\frac1{S_n}=\frac12+\frac1{2n}
詳しい解説

差が望遠和になるため、Sn=2(1−1/(n+1))=2n/(n+1)S_n=2(1-1/(n+1))=2n/(n+1)、従って 1/Sn=1/2+1/(2n)1/S_n=1/2+1/(2n) である。