アジア太平洋数学オリンピック · 1997年

問題

第1問 $T_n=1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$ 、 $S_n=1/T_1+1/T_2+\cdots+1/T_n$ とする。 $1/S_1+1/S_2+\cdots+1/S_{1996}>1001$ を証明せよ。解答: 1
第2問 $100\le n\le1997$ の範囲にある整数 $n$ で、 $n$ が $2^n+2$ を割り切るものを一つ求めよ。解答: 1
第3問 $ABC$ を三角形とする。 $A$ の角の二等分線は辺 $BC$ と $X$ 、外接円と $Y$ で交わる。 $r_A=AX/AY$ とし、 $r_B,r_C$ も同様に定める。\[2pt] $r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3$ を証明し、等号成立は三角形が正三角形の場合に限ることを示せ。解答: 1
第4問 $P_1$ と $P_3$ を固定する。 $P_2$ は $P_3$ を通り $P_1P_3$ に垂直な直線上を動く。 $P_{n+1}$ を、 $P_n$ から直線 $P_{n-1}P_{n-2}$ へ下ろした垂線の足とする。数列が点 $P$ に収束することを示し、 $P_2$ の動きに伴う $P$ の軌跡を求めよ。解答: 1
第5問 $n$ 人が円形に座っている。合計 $nk$ 枚の硬貨が必ずしも均等でなく配られている。1回の操作では隣り合う二人の間で硬貨1枚を移す。全員の硬貨枚数を等しくする最小操作回数のアルゴリズムを求めよ。解答: 1