MathLabs

第3問

ABCABC を三角形とする。AA の角の二等分線は辺 BCBC と XX、外接円と YY で交わる。rA=AX/AYr_A=AX/AY とし、rB,rCr_B,r_C も同様に定める。\[2pt] rA/sin⁡2A+rB/sin⁡2B+rC/sin⁡2C≥3r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3 を証明し、等号成立は三角形が正三角形の場合に限ることを示せ。
ステップ 2/5: rAr_A を計算する
前のステップ次のステップ
ABAY=sin⁡Csin⁡(B+A/2),rA=sin⁡Bsin⁡Csin⁡2(B+A/2)\frac{AB}{AY}=\frac{\sin C}{\sin(B+A/2)},\qquad r_A=\frac{\sin B\sin C}{\sin^2(B+A/2)}
詳しい解説

ABYABY に正弦定理を適用すると AB/AY=sin⁡C/sin⁡(B+A/2)AB/AY=\sin C/\sin(B+A/2)。前式と掛け合わせて rA=sin⁡Bsin⁡C/sin⁡2(B+A/2)r_A=\sin B\sin C/\sin^2(B+A/2) となる。