MathLabs

第3問

ABCABC を三角形とする。AA の角の二等分線は辺 BCBC と XX、外接円と YY で交わる。rA=AX/AYr_A=AX/AY とし、rB,rCr_B,r_C も同様に定める。\[2pt] rA/sin⁡2A+rB/sin⁡2B+rC/sin⁡2C≥3r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3 を証明し、等号成立は三角形が正三角形の場合に限ることを示せ。
ステップ 3/5: 積が の因子を分離する
前のステップ次のステップ
sA=sin⁡Bsin⁡Csin⁡2A,sAsBsC=1s_A=\frac{\sin B\sin C}{\sin^2A},\qquad s_As_Bs_C=1
詳しい解説

rA/sin⁡2A=sA/sin⁡2(B+A/2)r_A/\sin^2A=s_A/\sin^2(B+A/2) と循環的に書ける。定義から sAsBsC=1s_As_Bs_C=1 なので、相加相乗平均により sA+sB+sC≥3s_A+s_B+s_C\ge3。